Análisis de Fourier

El análisis de Fourier nos permite redefinir las señales en terminos de senosoidales, todo lo que tenemos que hacer es determinar el efecto que cualquier sistema tiene en todos los senosoidales posibles (su función de transferencia)  así tendremos un entendimiento completo del sistema. El análisis de Fourier es elemental para entender el comportamiento de las señales de sistemas.

Descripción

Si la forma de la onda es periódica, se puede representar con una precisión arbitraria, mediante la superposición de un número suficientemente grande de ondas senoidales que forman una serie armónica.

Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir,

donde el periodo P=2p/w, y a₀ a₁ ...a_i ... y b₁ b₂ .... b_i .... son los denominados coeficientes de Fourier.

Conocida la función periódica f(t), calculamos los coeficientes a_i y b_i del siguiente modo

Las integrales tienen como límite inferior -P/2 y como límite superior P/2.

En el programa interactivo, transformamos la función periódica de periodo P, en otra función periódica de periodo 2p, mediante un simple cambio de escala en el eje t. Escribiendo x=w t, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo 2p de x, y la función f(t) convertida en

definida en el intervalo que va de -p a +p

Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.

· Si g(x) es una función par, g(x)=g(-x), los términos b_i son nulos
· Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes a_i son nulos

Por ejemplo, para el pulso rectangular simétrico de anchura 1, y periodo 2 se obtienen los siguientes coeficientes.

orden a b 0 1 1 0.6366 0 2 0 0 3 -0.2122 0 4 0 0 5 0.1273 0 6 0 0 7 -0.09097 0 8 0 0 9 0.07078 0

Actividades

El applet nos permite elegir entre cuatro tipo de funciones discontinuas que representan pulsos periódicos.

• Rectangular
• Doble escalón
• Diente de sierra simétrico
• Diente de sierra antisimétrico

Una vez elegido la función, introducimos los parámetros requeridos en los controles de edición y pulsamos el botón cuyo título da nombre a la función.

• Rectangular
• Doble escalón
• Diente de sierra 1
• Diente de sierra 2

1. En la parte superior, la función f(t) elegida y las sucesivas aproximaciones de dicha función.

2. En la parte central, el armónico actual, en color azul a_i·cos(ix) y en color rojo b_i sin(ix).

3. En la parte inferior, mediante segmentos verticales, la magnitud relativa de los coeficientes de Fourier, a la izquierda en color azul los coeficientes a_i, y a la derecha en color rojo los coeficientes b_i.

Cuanto mayor sea la longitud de estos segmentos mayor es la contribución del armónico a la síntesis de la función periódica. Se puede observar, que la longitud de los segmentos disminuye con la frecuencia, es decir a mayor frecuencia del armónico menor es su contribución.

La separación entre estos segmentos verticales es inversamente proporcional al periodo de la función, por tanto, para una función aperiódica (periodo infinito), la envolvente de los extremos de los segmentos verticales define una curva continua denominada transformada de Fourier.

Ejemplos

Pulso rectangular

El pulso rectangular nos permite verificar que son nulos los coeficientes b_i en una función cuya simetría es par. Probar el siguiente ejemplo:

• Periodo, 5.0
• Anchura, 2.0
• Traslación, 0.0.

Si trasladamos el pulso rectangular, la función deja de tener simetría y por tanto, aparecen coeficientes a_i y b_i. Probar el siguiente ejemplo:

• Periodo, 5.0
• Anchura, 2.0
• Traslación, 0.5.

Pulso doble escalón

El pulso doble escalón nos permite verificar que son nulos los coeficientes a_i en una función cuya simetría es impar. Probar el siguiente ejemplo:

• Periodo, 3.0
• Anchura, 2.0
• Profundidad, 1.0.

Si cambiamos la profundidad del escalón derecho, la función deja de tener simetría y por tanto, aparecen coeficientes a_i y b_i. Probar el siguiente ejemplo:

• Periodo, 3.0
• Anchura, 2.0
• Profundidad, 0.5.

Pulso diente de sierra simétrico

Ejemplo:

• Periodo, 4.0.

Observar que basta los primeros armónicos para aproximar bastante bien esta función simétrica.

Pulso diente de sierra antisimétrico