Resumen (Señales)

CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES

Existen dos tipos de señales: determinísticas y aleatorias. Las determinísticas tienen un valor conocido en cada instante de tiempo y pueden expresarse matemáticamente como, por ejemplo, x(t) = 5 cos 10t. Para una señal aleatoria no es posible dar una expresión explícita como la anterior. Sin embargo, cuando se la observa durante un largo período de tiempo puede verse cierta regularidad. El ejemplo más sobresaliente de este caso, en sistemas de comunicaciones, es el ruido.

Señales de potencia y de energía
Una señal eléctrica puede ser representada por un voltaje v(t), o una corriente i(t), que entrega una potencia instantánea p(t) a través de un resistor R:

En sistemas de comunicaciones es común normalizar las ecuaciones anteriores considerando a R = 1 W aunque en realidad pueda tener otro valor. En ese caso las expresiones anteriores toman la forma general:

donde x(t) representa una tensión o una corriente, indistintamente. La energía disipada durante el intervalo de tiempo (- T/2, T/2) por una señal con potencia instantánea

Las señales de mayor energía brindan mayor confiabilidad (menos errores). Por otro lado, la potencia es la velocidad a la que se entrega energía. La potencia determina la tensión eléctrica que debe ser aplicada a un transmisor.

Una señal de energía tiene energía finita pero potencia media cero, mientras que una señal de potencia
tiene potencia finita pero energía infinita. Como regla general, las señales periódicas y las señales aleatorias se clasifican como señales de potencia, mientras que las señales determinísticas no periódicas se las clasifica como señales de energía.

Autocorrelación

Autocorrelación de una señal de energía
La correlación es un proceso de comparación. La autocorrelación se refiere a la comparación de una señal con una versión desplazada de sí misma. La función deautocor relación, Rx( t), de una señal real de energía x(t), viene definida por:

La función de autocorrelación da una idea de qué tanto se parece una señal a una versión desplazada ( t unidades en el tiempo) de sí misma. Rx no es una función del tiempo sino que es función de la diferencia de tiempo o desplazamiento t, entre la función inicial y la función desplazada.
La función de autocorrelación de una señal real de energía tiene las siguientes propiedades:

Señales aleatorias

Veremos a continuación algunas características de las señales aleatorias y repasaremos algunos conceptos básicos de estadísticas.

Sea X(A) una variable aleatoria. Representa la relación entre un evento aleatorio A y un número real. 

La variable aleatoria puede ser discreta o continua. Las variables aleatorias discretas son aquellas que ante un evento, el conjunto de resultados posibles es discreto. Las variables aleatorias continuas son aquellas que, para un evento definido, presentan un conjunto de resultados continuos.

Procesos aleatorios

Un proceso aleatorio, X(A, t), puede ser visto como una función de dos variables: un evento A y el tiempo t. Supongamos N muestras de una función del tiempo {Xj(t)}. Cada una de las muestras puede ser relacionada con la salida de diferentes generadores de ruido. Para un evento específico Aj tenemos una función del tiempo X(Aj, t) = Xj(t) (o sea una muestra de la función). La totalidad de las muestras forman un conjunto o ensamble. Para un tiempo específico tk, X(A, tk) es una variable aleatoria X(tk), cuyo valor depende del evento. Para un evento específico A = Aj y un tiempo específico t = tk, X(Aj, tk) es simplemente un número. Por conveniencia designaremos a este proceso aleatorio como X(t) y la dependencia con A quedará implícita. 

Promedios estadísticos de una variable aleatoria

El valor de un proceso aleatorio no puede ser conocido a priori (ya que no se conoce la identidad del evento A). Se busca entonces poder describir este proceso estadísticamente, mediante su función de densidad de probabilidad (fdp). En general, la forma de la fdp de un proceso aleatorio será diferente para diferentes tiempos. Y en general también, no es práctico determinar empíricamente la fdp. Sin embargo, se puede obtener una descripción parcial a través de la media y de la autocorrelación. Definiremos a la media de un proceso aleatorio X(t)
como: 

donde X(tk) es la variable aleatoria obtenida por observación del proceso aleatorio en el
tiempo tk. La fdp de X(tk) es pxk(x). Es la función de densidad de probabilidad sobre todo el
conjunto de eventos, tomada en el tiempo tk.
La función de autocorrelación da una pauta de cuánto se parecen dos muestras del mismo proceso aleatorio, desplazadas en el tiempo.

Procesos estacionarios
Un proceso aleatorio X(t) se dice estacionario en sentido estricto si ninguna de sus
propiedades estadísticas son afectadas por un desplazamiento sobre el eje de tiempos. Un
proceso aleatorio se dice estacionario en sentido amplio si la media y la autocorrelación no
varían con un desplazamiento en el tiempo. Así, un proceso es estacionario en sentido amplio
si,

 

Estacionario en sentido estricto implica estacionario en sentido amplio, pero no viceversa. La mayoría de los procesos aleatorios usados en sistemas de comunicaciones son estacionarios en sentido amplio.

En procesos estacionarios la autocorrelación no depende del tiempo sino de la diferencia de tiempos t1 y t2. Es decir, todos los pares de valores de X(t) separados en el tiempo t
= t1 – t2 tienen el mismo valor de autocorrelación.

Autocorrelación en procesos estacionarios en sentido amplio. Así como la varianza
provee una medida de la aleatoriedad de una variable aleatoria, la función de autocorrelación
provee una medida similar para los procesos aleatorios. 

Las propiedades de la función de autocorrelación para un proceso estacionario en
sentido amplio son:

Ergodicidad. Cuando un proceso aleatorio pertenece a cierta clase especial llamado proceso ergódico, su promedio temporal es igual al promedio del ensamble y las propiedades estadísticas del proceso pueden determinarse a partir del promedio temporal de una sola muestra. Para que un proceso aleatorio sea ergódico debe ser estacionario en sentido estricto (la inversa no es necesariamente verdadera). Sin embargo, en sistemas de comunicaciones que satisfacen la condición de estacionario en sentido amplio, sólo nos interesa saber la media y la función de autocorrelación.

Comprobar la ergodicidad de un proceso aleatorio es, en general, muy difícil.
En la práctica lo que se hace es una evaluación intuitiva para saber si es razonable intercambiar los promedios temporales y los promedios de las muestras. 

Ya que en un proceso ergódico el promedio temporal es igual al promedio de las muestras del conjunto, las variables eléctricas principales como valor dc, valor rms, etc, se pueden relacionar, en este caso, con las propiedades estadísticas de la siguiente manera:

1. La cantidad { } ) (t X E mX = es igual al nivel DC de la señal. Este resultado es bastante intuitivo, ya que el valor medio estadístico coincide con el valor medio temporal, y el valor medio temporal de una señal eléctrica representa la componente DC.

2. La cantidad 2X m es igual a la potencia normalizada de la componente DC. También es bastante intuitivo. Si mX es el valor medio de tensión eléctrica, entonces su cuadrado, 2 X m ,
representa la potencia continua normalizada.

3. El segundo momento de X(t), { } ) ( 2 t X E es igual a la potencia media normalizada total (AC + DC). Este resultado quizás no es tan evidente como los dos anteriores. Pero una manera de interpretarlo es viendo que X2(t) es la potencia instantánea normalizada (AC + DC) de la señal X(t). Por lo tanto su valor medio representa la potencia media normalizada AC + DC.

4. La cantidad { } ) ( 2 t X E es igual al valor rms del voltaje o corriente de la señal (AC + DC). Teniendo en cuenta el punto 3, vemos que se trata de la raíz cuadrada de la potencia media normalizada total. Esto coincide con la definición de valor rms de una señal (en otras palabras, es la raíz cuadrada del valor medio del cuadrado de la señal de tensión o de corriente)
5. La varianza, 2 X s , es igual a la potencia media normalizada de la componente AC de
la señal:

6. Si el proceso tiene media cero (esto es, 0 2 = = X X m m ), entonces { } 2 2 X E X = s , y la
varianza representa la potencia media total normalizada (porque no hay potencia media DC).

7. La desviación estándar, sX, es el valor rms de la componente AC de la señal. Surge
del punto 5, tomando la raíz cuadrada de la potencia media AC y teniendo en cuenta la
definición de valor rms.

8. Si mX = 0 entonces sX es el valor rms total de la señal (ya que no hay tensión o
corriente continua).

Un proceso aleatorio X(t) generalmente puede ser clasificado como una señal de
potencia que tiene densidad espectral de potencia GX(f). La característica de esta densidad
espectral puede resumirse así:


Ruido en sistemas de comunicaciones

El término ruido se refiere a señales eléctricas indeseadas que están siempre presentes en los sistemas eléctricos. La presencia de ruido superpuesto en una señal tiende a enmascarar a dicha señal. Esto limita la capacidad del receptor para decidir correctamente acerca de cuál fue el símbolo transmitido, además de limitar la velocidad de transmisión. Hay diferentes fuentes de ruido, tanto naturales como artificiales (generados por el hombre). En todo sistema de comunicaciones hay que pelear contra el ruido, diseñando las antenas y filtros adecuados, o instalando los equipos en lugares apropiados.

Hay un tipo de ruido específico llamado ruido térmico o de Johnson que es causado por la agitación térmica natural de los electrones presentes en distintos componentes como ser cables conductores, resistores, transistores, etc. Los mismos electrones que realizan la conducción eléctrica de la señal deseada producen el ruido térmico. Más adelante, en otro capítulo, veremos más en detalle la expresión matemática de la tensión y de la potencia del ruido térmico. Por ahora veremos su comportamiento estadístico y su espectro de frecuencia.
El ruido térmico tiene una naturaleza aleatoria y puede ser descripto como un proceso Gaussiano de media cero. Un proceso Gaussiano n(t) es una función aleatoria cuyo valor n, a cualquier valor arbitrario del tiempo t, está estadísticamente caracterizado por una función de densidad de probabilidad Gaussiana p(n):

donde sigma cuadrado es la varianza de n. La fdp Gaussiana Normalizada es un proceso de media cero que se asume tiene s =1.
A menudo representaremos una señal aleatoria como suma de una componente DC y ruido Gaussiano:
z = a + n
donde z es la variable aleatoria, a la componente DC y n el ruido Gaussiano. Para este
caso, la fdp p(z) se expresa como:

donde, una vez más, sigma cuadrado es la varianza de n. Esta forma gaussiana que se le asigna a la distribución de probabilidad de ruido blanco surge de un teorema que dice que la suma de muchas variables aleatorias independientes tiende a una distribución gaussiana, sin importar qué distribución tiene cada variable.

Ruido blanco

La característica distintiva del ruido térmico es que su densidad espectral de potencia es constante para todas las frecuencias que son de interés en la mayoría de los sistemas de comunicaciones. Es decir, una fuente de ruido térmico emana una igual cantidad de potencia por unidad de ancho de banda para todas las frecuencias (desde DC hasta aproximadamente 1012 Hz). Por lo tanto se puede describir al ruido térmico asumiendo que su densidad espectral de potencia Gn(f) es constante para todas las frecuencias, y se expresa como:

Ya que el ruido es un proceso ergódico, veamos cómo se relacionan sus propiedades
estadísticas con sus propiedades eléctricas:
1. El valor medio o esperanza de la fdp Gaussiana es cero, por lo tanto el nivel de tensión continua del ruido es cero. Esto es intuitivamente lógico, ya que los niveles positivos de tensión de ruido compensan a los niveles negativos.
2. Como consecuencia del punto anterior, la potencia normalizada de la componente de tensión continua también es cero.
3. La varianza s2 es igual a la potencia media normalizada de la señal de ruido.  Lo que ocurre es que esto es una abstracción como consecuencia de considerar infinito al ancho de banda de ruido (por una cuestión de practicidad matemática y de análisis) aunque ya se dijo que no es así. Entonces, a mayor varianza, mayor potencia de ruido y por lo tanto mayor “dispersión” estadística.
4. La desviación estándar s, representa el valor rms o valor eficaz de la señal de ruido. s es en realidad el valor rms de la componente AC, pero como la componente DC es cero, finalmente la desviación estándar representa al valor rms total del ruido.
Se dice que el ruido de este tipo es Ruido Blanco Gaussiano Aditivo (RBGA). Además, al ser la distribución gaussiana y las muestras incorreladas, se dice que las muestras de ruido son independientes. Por lo tanto,
este tipo de ruido, en un canal de comunicación, afecta en forma independiente a cada símbolo transmitido. El término aditivo significa que el ruido simplemente se superpone a la señal y no hay ningún tipo de mecanismo multiplicativo o de otra naturaleza.

Por lo tanto, para que un sistema de transmisión no tenga distorsión su respuesta en magnitud debe ser constante con la frecuencia, mientras que su respuesta en fase debe ser lineal con la frecuencia. No es suficiente que el sistema amplifique o atenúe todas las componentes en frecuencia por igual. Además de eso, todas las componentes en frecuencia deben arribar con igual retardo para que se sumen correctamente. El retardo t0 está relacionado con la fase q0 de la siguiente manera:

Dilema del ancho de banda

Muchos teoremas importantes de las comunicaciones y de la teoría de la información se basan en la suposición o existencia de canales con un ancho de banda limitado (estrictamente). Sin embargo, considerar un ancho de banda así implica considerar una señal de duración infinita, lo cual es impracticable. Por otra parte, considerar que el ancho de banda se extiende de forma infinita también es irrazonable. Realmente, no hay una definición universal para el ancho de banda.

Dfiniciones más comunes:

a) Ancho de banda de mitad de potencia. Es el intervalo de frecuencias en los puntos donde G(f) cae a la mitad del valor máximo. Esto equivale a una caída de 3 dB.

b) Rectángulo equivalente (también llamado ancho de banda de ruido equivalente). Es un ancho de banda definido como BN = Px/Gx(fc), donde Px es la potencia total de la señal sobre todo el espectro de frecuencias y Gx(fc) es el valor de la densidad espectral de potencia en el centro de la banda.

c) Ancho de banda entre ceros. Es quizás la clasificación más popular para el ancho de banda en sistemas digitales. Es el lóbulo principal del espectro, allí donde se distribuye la mayor cantidad de potencia.

d) Ancho de banda de 99%. Es el ancho de banda limitado por las frecuencias que determinan una potencia del 99% del total.

e) Densidad Espectral de Potencia limitada. Establece un ancho de banda tal que, fuera de él, Gx(f) debe caer por debajo de un cierto nivel con respecto del nivel que hay en el centro de banda. Valores típicos son 35 dB y 50 dB.